Řešení kvadratických rovnic

Send

Tento článek se zabývá standardní kvadratickou rovnicí tvaru:

Článek odvozuje vzorec pro kořeny kvadratické rovnice metodou komplementace na plný čtverec, numerické hodnoty místo toho a, b, c nebude nahrazen.

ax 2 + bx + c = 0 2 Vydělte obě strany rovnice ale.

x 2 + (b / a) x + c / a = 0 3 Odečtěte s / a z obou stran rovnice.

x 2 + (b / a) x = -c / a 4 Rozdělte koeficient na x (b / a) o 2 a výsledek pak zaokrouhlí na druhou. Přidejte výsledek na obě strany rovnice.

x 2 + (b / a) x + b 2 / 4a 2 = -c / a + b 2 / 4a 2 5 Zjednodušte výraz vyjádřením faktorů na levé straně a přidáním výrazů na pravé straně (nejprve vyhledejte společný jmenovatel).

(x + b / 2a) (x + b / 2a) = (-4ac / 4a2) + (b2 / 4a2)

(x + b / 2a) 2 = (b 2 - 4ac) / 4a 2 6 Extrahujte druhou odmocninu z každé strany rovnice.

√ ((x + b / 2a) 2) = ± √ ((b2 - 4ac) / 4a2)

x + b / 2a = ± √ (b 2 - 4ac) / 2a 7 Odečtěte b / 2a z obou stran a dostanete vzorec pro kořeny kvadratické rovnice.

Diskriminační

Nechť je dána kvadratická rovnice ax 2 + bx + c = 0. Pak - to je jen číslo D = b 2 - 4 ac.

Tento vzorec musí být znám ze srdce. Odkud pochází, je nyní nedůležité. Další věc je důležitá: znakem diskriminačního můžete určit, kolik kořenů má kvadratická rovnice. Jmenovitě:

Pokud D D = 0, existuje přesně jeden kořen,
Pokud D> 0, budou tam dva kořeny.

Poznámka: diskriminující označuje počet kořenů, a ne vůbec jejich známky, jak z nějakého důvodu mnozí věří. Podívejte se na příklady a vše pochopíte sami:

Výzva. Kolik kořenů má kvadratické rovnice:

x 2 - 8 x + 12 = 0,
5 x 2 + 3 x + 7 = 0,
x 2 - 6 x + 9 = 0.

Vypíšeme koeficienty pro první rovnici a najdeme diskriminačního:
a = 1, b = −8, c = 12,
D = (−8) 2-4 · 1,12 = 64 - 48 = 16

Takže diskriminující je pozitivní, takže rovnice má dva různé kořeny. Podobně analyzujeme druhou rovnici:
a = 5, b = 3, c = 7,
D = 3,2 - 4 · 5 = 7 - 9 - 140 = −131.

Diskriminační je negativní, neexistují kořeny. Poslední rovnice zůstává:
a = 1, b = −6, c = 9,
D = (-6) 2 - 4 · 1,9 = 36 - 36 = 0.

Diskriminační je nula - kořen bude jeden.

Všimněte si, že koeficienty byly zapsány pro každou rovnici. Ano, je to dlouhá doba, ano, je to nuda - ale nemyslíte si koeficienty a uděláte hloupé chyby. Vyberte si sami: rychlost nebo kvalita.

Mimochodem, pokud „do toho dáte ruku“, nemusíte po chvíli psát všechny kurzy. Takové operace budete provádět v hlavě. Většina lidí to dělá někde po 50-70 vyřešených rovnicích - obecně ne tolik.

Kořeny kvadratické rovnice

Nyní pojďme k řešení. Pokud je diskriminační D> 0, kořeny lze najít pomocí vzorců:

Základní vzorec kořenů kvadratické rovnice

Když D = 0, můžete použít kterýkoli z těchto vzorců - dostanete stejné číslo, které bude odpověď. A konečně, pokud D x 2 - 2 x - 3 = 0,

15 - 2 x - x 2 = 0,

x 2 + 12 x + 36 = 0.

První rovnice:
x 2 - 2 x - 3 = 0 ⇒ a = 1, b = −2, c = −3,
D = (-2) 2-4 · 1 · (-3) = 16.

D> 0 ⇒ rovnice má dva kořeny. Najděte je:

Druhá rovnice:
15 - 2 x - x 2 = 0 ⇒ a = −1, b = −2, c = 15,
D = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D> 0 ⇒ rovnice má opět dva kořeny. Najděte je

Konečně třetí rovnice:
x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1, b = 12, c = 36,
D = 12 2 - 4 · 1,36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnice má jeden kořen. Můžete použít jakýkoli vzorec. Například první:

Jak je vidět z příkladů, vše je velmi jednoduché. Pokud znáte vzorce a budete moci počítat, nebudou problémy. Nejčastěji dochází k chybám při nahrazování záporných koeficientů ve vzorci. Zde opět pomůže technika popsaná výše: podívejte se doslova na vzorec, zapište si každý krok - a velmi brzy se zbavte chyb.

Neúplné kvadratické rovnice

Stává se, že kvadratická rovnice je poněkud odlišná od toho, co je uvedeno v definici. Například:

Je snadné si povšimnout, že jeden z výrazů v těchto rovnicích chybí. Takové kvadratické rovnice lze ještě snadněji řešit než standardní: nepotřebují ani uvažovat o diskriminačním. Představujeme tedy nový koncept:

Rovnice ax 2 + bx + c = 0 se volá, pokud b = 0 nebo c = 0, tj. koeficient proměnné x nebo volného prvku je nula.

Samozřejmě je velmi obtížný případ, když jsou oba tyto koeficienty rovny nule: b = c = 0. V tomto případě má rovnice tvar x 2 = 0. Je zřejmé, že taková rovnice má jediný kořen: x = 0.

Zvažte zbývající případy. Nechť b = 0, dostaneme neúplnou kvadratickou rovnici tvaru ax 2 + c = 0. Mírně ji transformujeme:

Řešení neúplné kvadratické rovnice

Protože aritmetický druh odmocniny existuje pouze z nezáporného čísla, má poslední rovnost smysl pouze pro (- c / a) ≥ 0. Závěr:

Pokud nerovnost (- c / a) ≥ 0 platí v neúplné kvadratické rovnici tvaru osy 2 + c = 0, budou existovat dva kořeny. Vzorec je uveden výše
Pokud (- c / a) c / a) ≥ 0. Stačí vyjádřit kvantitu x 2 a zjistit, co je na druhé straně znaku rovnosti. Pokud je kladné číslo, budou tam dva kořeny. Pokud bude negativní, nebudou vůbec žádné kořeny.

Nyní se budeme zabývat rovnicemi tvaru ax 2 + bx = 0, ve kterých je volný prvek roven nule. Všechno je zde jednoduché: vždy budou dva kořeny. Stačí faktorovat polynom:

Bracketing společný faktor

Produkt je nulový, pokud je alespoň jeden z faktorů nulový. Odtud jsou kořeny. Závěrem analyzujeme několik takových rovnic:

Výzva. Řešení kvadratických rovnic:

x 2 - 7 x = 0 x x (x - 7) = 0 x x ₁ = 0, x ₂ = −(−7)/1 = 7.

5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Neexistují žádné kořeny, protože čtverec se nemůže rovnat zápornému číslu.

4 x 2 - 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x ₁ = 3/2 = 1,5, x ₂ = −1,5.

Příklady kvadratických rovnic

5x 2 - 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x 2 + 0,25x = 0
x 2 - 8 = 0

Chcete-li najít "a", "b" a "c", musíte porovnat svou rovnici s obecnou podobou kvadratické rovnice "ax 2 + bx + c = 0".

Zkusme definovat koeficienty a, ba ac v kvadratických rovnicích.

Rovnice

Kurzy

5x 2 - 14x + 17 = 0

a = 5
b = −14
c = 17

−7x 2 - 13x + 8 = 0

a = −7
b = −13
c = 8

−x 2 + x +

= 0

a = −1
b = 1
c =
1
3

x 2 + 0,25x = 0

a = 1
b = 0,25
c = 0

x 2 - 8 = 0

a = 1
b = 0
c = −8

Jak řešit kvadratické rovnice

Na rozdíl od lineárních rovnic se k řešení kvadratických rovnic používá speciální vzorec pro nalezení kořenů.

K vyřešení kvadratické rovnice potřebujete:

redukujte kvadratickou rovnici na obecný tvar "ax 2 + bx + c = 0". To znamená, že na pravé straně by mělo zůstat pouze „0“,
použijte vzorec pro kořeny:

x_1,2 =

−b ± √ b 2 - 4ac

Podívejme se na příklad, jak použít vzorec k nalezení kořenů kvadratické rovnice. Vyřešte kvadratickou rovnici.

Rovnice "x 2 - 3x - 4 = 0" již byla redukována na obecný tvar "ax 2 + bx + c = 0" a nevyžaduje další zjednodušení. Abychom to vyřešili, stačí se přihlásit vzorec pro nalezení kořenů kvadratické rovnice.

Definujte koeficienty "a", "b" a "c" pro tuto rovnici.

Rovnice	Kurzy
x 2 - 3x - 4 = 0	a = 1 b = −3 c = −4

Nahraďte je ve vzorci a najděte kořeny.

x 2 - 3x - 4 = 0
x_1,2 =

−b ± √ b 2 - 4ac

x_1,2 =

−(−3) ± √ (−3) 2 − 4 · 1· (−4)

2 · 1

x_1,2 =

3 ± √ 9 + 16

x_1,2 =

3 ± √ 25

x_1,2 =

3 ± 5

x₁ =

3 + 5

x₂ =

3 − 5

x₁ =

x₂ =

−2

x₁ = 4

x₂ = −1

Odpověď: x₁ = 4, x₂ = −1

Nezapomeňte si zapamatovat vzorec pro nalezení kořenů.

x_1,2 =

−b ± √ b 2 - 4ac

S jeho pomocí je vyřešena jakákoli kvadratická rovnice.

Ve vzorci „x_1,2 =

−b ± √ b 2 - 4ac

»Často nahrazuje radikální výraz
"B 2 - 4ac" v písmenu "D" a nazývá se diskriminační. Koncept diskriminace je podrobněji diskutován v lekci „Co je diskriminační“.

Vezměme si další příklad kvadratické rovnice.

V této podobě je stanovení koeficientů „a“, „b“ a „c“ poměrně obtížné. Pojďme nejprve přivést rovnici do obecného tvaru "ax 2 + bx + c = 0".

Nyní můžete použít vzorec pro kořeny.

x_1,2 =

−(−6) ± √ (−6) 2 − 4 · 1 · 9

2 · 1

x_1,2 =

6 ± √ 36 − 36

x_1,2 =

6 ± √ 0

x_1,2 =

6 ± 0

x =

x = 3
Odpověď: x = 3

Jsou chvíle, kdy v kvadratických rovnicích nejsou kořeny. Tato situace nastane, když se ve vzorci pod kořenem objeví záporné číslo.

Z definice druhé odmocniny si pamatujeme, že není možné extrahovat druhou odmocninu z záporného čísla.

Uvažujme příklad kvadratické rovnice, která nemá kořeny.

5x 2 + 2x = - 3
5x 2 + 2x + 3 = 0
x_1,2 =

−2 ± √ 2 2 − 4 · 3 · 5

2 · 5

x_1,2 =

−2 ± √ 4 − 60

x_1,2 =

−2 ± √ −56

Odpověď: neexistují žádné platné kořeny.

Dostali jsme tedy situaci, kdy záporné číslo je pod kořenem. To znamená, že v rovnici nejsou žádné kořeny. Proto jsme jako odpověď napsali „Žádné skutečné kořeny“.

Co znamenají slova „žádné skutečné kořeny“? Proč prostě nemůžete napsat „žádné kořeny“?

Ve skutečnosti v takových případech existují kořeny, ale neprochází školním vzdělávacím programem, proto zaznamenáváme, že mezi skutečnými čísly neexistují kořeny. Jinými slovy: „Nejsou skutečné kořeny.“

Send