Užitečné tipy

Řešení kvadratických rovnic

Pin
Send
Share
Send
Send


Tento článek se zabývá standardní kvadratickou rovnicí tvaru:

Článek odvozuje vzorec pro kořeny kvadratické rovnice metodou komplementace na plný čtverec, numerické hodnoty místo toho a, b, c nebude nahrazen.

ax 2 + bx + c = 0 2 Vydělte obě strany rovnice ale.

x 2 + (b / a) x + c / a = 0 3 Odečtěte s / a z obou stran rovnice.

x 2 + (b / a) x = -c / a 4 Rozdělte koeficient na x (b / a) o 2 a výsledek pak zaokrouhlí na druhou. Přidejte výsledek na obě strany rovnice.

x 2 + (b / a) x + b 2 / 4a 2 = -c / a + b 2 / 4a 2 5 Zjednodušte výraz vyjádřením faktorů na levé straně a přidáním výrazů na pravé straně (nejprve vyhledejte společný jmenovatel).

(x + b / 2a) (x + b / 2a) = (-4ac / 4a2) + (b2 / 4a2)

(x + b / 2a) 2 = (b 2 - 4ac) / 4a 2 6 Extrahujte druhou odmocninu z každé strany rovnice.

√ ((x + b / 2a) 2) = ± √ ((b2 - 4ac) / 4a2)

x + b / 2a = ± √ (b 2 - 4ac) / 2a 7 Odečtěte b / 2a z obou stran a dostanete vzorec pro kořeny kvadratické rovnice.

Diskriminační

Nechť je dána kvadratická rovnice ax 2 + bx + c = 0. Pak - to je jen číslo D = b 2 - 4 ac.

Tento vzorec musí být znám ze srdce. Odkud pochází, je nyní nedůležité. Další věc je důležitá: znakem diskriminačního můžete určit, kolik kořenů má kvadratická rovnice. Jmenovitě:

  1. Pokud D D = 0, existuje přesně jeden kořen,
  2. Pokud D> 0, budou tam dva kořeny.

Poznámka: diskriminující označuje počet kořenů, a ne vůbec jejich známky, jak z nějakého důvodu mnozí věří. Podívejte se na příklady a vše pochopíte sami:

Výzva. Kolik kořenů má kvadratické rovnice:

  1. x 2 - 8 x + 12 = 0,
  2. 5 x 2 + 3 x + 7 = 0,
  3. x 2 - 6 x + 9 = 0.

Vypíšeme koeficienty pro první rovnici a najdeme diskriminačního:
a = 1, b = −8, c = 12,
D = (−8) 2-4 · 1,12 = 64 - 48 = 16

Takže diskriminující je pozitivní, takže rovnice má dva různé kořeny. Podobně analyzujeme druhou rovnici:
a = 5, b = 3, c = 7,
D = 3,2 - 4 · 5 = 7 - 9 - 140 = −131.

Diskriminační je negativní, neexistují kořeny. Poslední rovnice zůstává:
a = 1, b = −6, c = 9,
D = (-6) 2 - 4 · 1,9 = 36 - 36 = 0.

Diskriminační je nula - kořen bude jeden.

Všimněte si, že koeficienty byly zapsány pro každou rovnici. Ano, je to dlouhá doba, ano, je to nuda - ale nemyslíte si koeficienty a uděláte hloupé chyby. Vyberte si sami: rychlost nebo kvalita.

Mimochodem, pokud „do toho dáte ruku“, nemusíte po chvíli psát všechny kurzy. Takové operace budete provádět v hlavě. Většina lidí to dělá někde po 50-70 vyřešených rovnicích - obecně ne tolik.

Kořeny kvadratické rovnice

Nyní pojďme k řešení. Pokud je diskriminační D> 0, kořeny lze najít pomocí vzorců:

Základní vzorec kořenů kvadratické rovnice

Když D = 0, můžete použít kterýkoli z těchto vzorců - dostanete stejné číslo, které bude odpověď. A konečně, pokud D x 2 - 2 x - 3 = 0,

  • 15 - 2 x - x 2 = 0,
  • x 2 + 12 x + 36 = 0.
  • První rovnice:
    x 2 - 2 x - 3 = 0 ⇒ a = 1, b = −2, c = −3,
    D = (-2) 2-4 · 1 · (-3) = 16.

    D> 0 ⇒ rovnice má dva kořeny. Najděte je:

    Druhá rovnice:
    15 - 2 x - x 2 = 0 ⇒ a = −1, b = −2, c = 15,
    D = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

    D> 0 ⇒ rovnice má opět dva kořeny. Najděte je

    Konečně třetí rovnice:
    x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1, b = 12, c = 36,
    D = 12 2 - 4 · 1,36 = 0.

    D = 0 ⇒ rovnice má jeden kořen. Můžete použít jakýkoli vzorec. Například první:

    Jak je vidět z příkladů, vše je velmi jednoduché. Pokud znáte vzorce a budete moci počítat, nebudou problémy. Nejčastěji dochází k chybám při nahrazování záporných koeficientů ve vzorci. Zde opět pomůže technika popsaná výše: podívejte se doslova na vzorec, zapište si každý krok - a velmi brzy se zbavte chyb.

    Neúplné kvadratické rovnice

    Stává se, že kvadratická rovnice je poněkud odlišná od toho, co je uvedeno v definici. Například:

    Je snadné si povšimnout, že jeden z výrazů v těchto rovnicích chybí. Takové kvadratické rovnice lze ještě snadněji řešit než standardní: nepotřebují ani uvažovat o diskriminačním. Představujeme tedy nový koncept:

    Rovnice ax 2 + bx + c = 0 se volá, pokud b = 0 nebo c = 0, tj. koeficient proměnné x nebo volného prvku je nula.

    Samozřejmě je velmi obtížný případ, když jsou oba tyto koeficienty rovny nule: b = c = 0. V tomto případě má rovnice tvar x 2 = 0. Je zřejmé, že taková rovnice má jediný kořen: x = 0.

    Zvažte zbývající případy. Nechť b = 0, dostaneme neúplnou kvadratickou rovnici tvaru ax 2 + c = 0. Mírně ji transformujeme:

    Řešení neúplné kvadratické rovnice

    Protože aritmetický druh odmocniny existuje pouze z nezáporného čísla, má poslední rovnost smysl pouze pro (- c / a) ≥ 0. Závěr:

    1. Pokud nerovnost (- c / a) ≥ 0 platí v neúplné kvadratické rovnici tvaru osy 2 + c = 0, budou existovat dva kořeny. Vzorec je uveden výše
    2. Pokud (- c / a) c / a) ≥ 0. Stačí vyjádřit kvantitu x 2 a zjistit, co je na druhé straně znaku rovnosti. Pokud je kladné číslo, budou tam dva kořeny. Pokud bude negativní, nebudou vůbec žádné kořeny.

    Nyní se budeme zabývat rovnicemi tvaru ax 2 + bx = 0, ve kterých je volný prvek roven nule. Všechno je zde jednoduché: vždy budou dva kořeny. Stačí faktorovat polynom:

    Bracketing společný faktor

    Produkt je nulový, pokud je alespoň jeden z faktorů nulový. Odtud jsou kořeny. Závěrem analyzujeme několik takových rovnic:

    Výzva. Řešení kvadratických rovnic:

    x 2 - 7 x = 0 x x (x - 7) = 0 x x 1 = 0, x 2 = −(−7)/1 = 7.

    5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Neexistují žádné kořeny, protože čtverec se nemůže rovnat zápornému číslu.

    4 x 2 - 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5, x 2 = −1,5.

    Příklady kvadratických rovnic

    • 5x 2 - 14x + 17 = 0
    • −x 2 + x +
      1
      3
      = 0
    • x 2 + 0,25x = 0
    • x 2 - 8 = 0

    Chcete-li najít "a", "b" a "c", musíte porovnat svou rovnici s obecnou podobou kvadratické rovnice "ax 2 + bx + c = 0".

    Zkusme definovat koeficienty a, ba ac v kvadratických rovnicích.

    RovniceKurzy
    5x 2 - 14x + 17 = 0
    • a = 5
    • b = −14
    • c = 17
    −7x 2 - 13x + 8 = 0
    • a = −7
    • b = −13
    • c = 8
    −x 2 + x +
    1
    3
    = 0
    • a = −1
    • b = 1
    • c =
      1
      3
    x 2 + 0,25x = 0
    • a = 1
    • b = 0,25
    • c = 0
    x 2 - 8 = 0
    • a = 1
    • b = 0
    • c = −8

    Jak řešit kvadratické rovnice

    Na rozdíl od lineárních rovnic se k řešení kvadratických rovnic používá speciální vzorec pro nalezení kořenů.

    K vyřešení kvadratické rovnice potřebujete:

    • redukujte kvadratickou rovnici na obecný tvar "ax 2 + bx + c = 0". To znamená, že na pravé straně by mělo zůstat pouze „0“,
    • použijte vzorec pro kořeny:

    x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a

    Podívejme se na příklad, jak použít vzorec k nalezení kořenů kvadratické rovnice. Vyřešte kvadratickou rovnici.

    Rovnice "x 2 - 3x - 4 = 0" již byla redukována na obecný tvar "ax 2 + bx + c = 0" a nevyžaduje další zjednodušení. Abychom to vyřešili, stačí se přihlásit vzorec pro nalezení kořenů kvadratické rovnice.

    Definujte koeficienty "a", "b" a "c" pro tuto rovnici.

    RovniceKurzy
    x 2 - 3x - 4 = 0
    • a = 1
    • b = −3
    • c = −4

    Nahraďte je ve vzorci a najděte kořeny.

    x 2 - 3x - 4 = 0
    x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a

    x1,2 =
    −(−3) ± √ (−3) 2 − 4 · 1· (−4)
    2 · 1

    x1,2 =
    3 ± √ 9 + 16
    2

    x1,2 =
    3 ± √ 25
    2

    x1,2 =
    3 ± 5
    2

    x1 =
    3 + 5
    2
    x2 =
    3 − 5
    2
    x1 =
    8
    2
    x2 =
    −2
    2
    x1 = 4x2 = −1

    Odpověď: x1 = 4, x2 = −1

    Nezapomeňte si zapamatovat vzorec pro nalezení kořenů.

    x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a

    S jeho pomocí je vyřešena jakákoli kvadratická rovnice.

    Ve vzorci „x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a
    »Často nahrazuje radikální výraz
    "B 2 - 4ac" v písmenu "D" a nazývá se diskriminační. Koncept diskriminace je podrobněji diskutován v lekci „Co je diskriminační“.

    Vezměme si další příklad kvadratické rovnice.

    V této podobě je stanovení koeficientů „a“, „b“ a „c“ poměrně obtížné. Pojďme nejprve přivést rovnici do obecného tvaru "ax 2 + bx + c = 0".

    Nyní můžete použít vzorec pro kořeny.

    x1,2 =
    −(−6) ± √ (−6) 2 − 4 · 1 · 9
    2 · 1

    x1,2 =
    6 ± √ 36 − 36
    2

    x1,2 =
    6 ± √ 0
    2

    x1,2 =
    6 ± 0
    2

    x =
    6
    2

    x = 3
    Odpověď: x = 3

    Jsou chvíle, kdy v kvadratických rovnicích nejsou kořeny. Tato situace nastane, když se ve vzorci pod kořenem objeví záporné číslo.

    Z definice druhé odmocniny si pamatujeme, že není možné extrahovat druhou odmocninu z záporného čísla.

    Uvažujme příklad kvadratické rovnice, která nemá kořeny.

    5x 2 + 2x = - 3
    5x 2 + 2x + 3 = 0
    x1,2 =
    −2 ± √ 2 2 − 4 · 3 · 5
    2 · 5

    x1,2 =
    −2 ± √ 4 − 60
    10

    x1,2 =
    −2 ± √ −56
    10

    Odpověď: neexistují žádné platné kořeny.

    Dostali jsme tedy situaci, kdy záporné číslo je pod kořenem. To znamená, že v rovnici nejsou žádné kořeny. Proto jsme jako odpověď napsali „Žádné skutečné kořeny“.

    Co znamenají slova „žádné skutečné kořeny“? Proč prostě nemůžete napsat „žádné kořeny“?

    Ve skutečnosti v takových případech existují kořeny, ale neprochází školním vzdělávacím programem, proto zaznamenáváme, že mezi skutečnými čísly neexistují kořeny. Jinými slovy: „Nejsou skutečné kořeny.“

    Pin
    Send
    Share
    Send
    Send